- άπειρο
- Το ατελείωτο, το απέραντο· το αναρίθμητο· ειδικότερα, το σύμπαν, το διάστημα.
(Μαθημ.) Ήδη από την αρχαιότητα, η μαθηματική ανάλυση του α. συνδέεται στενά με τη φιλοσοφική αναζήτηση. Ονομαστά προβλήματα σχετικά με το ά., όπως τα παράδοξα του Ζήνωνα, είναι προβλήματα που συνδέονται με κατακτήσεις των μαθηματικών, όπως εκείνη του ορίου αθροίσματος, του οποίου το πλήθος των όρων αυξάνει απεριόριστα, ενώ οι όροι αυτοί φθίνουν απεριόριστα προς το μηδέν. Παράδειγμα, η φθίνουσα γεωμετρική πρόοδος:
Όταν το ν αυξάνει απεριόριστα, τότε o όρος 
τείνει απεριόριστα στο 0, ενώ το άθροισμα αυξάνει και πλησιάζει απεριόριστα το 1.
Οι τελευταίες αυτές διατυπώσεις είναι επηρεασμένες από τις αντιλήψεις της αρχαιότητας για το ενεστωτικό ά. και δέχονται σοβαρή κριτική. Μια τέτοια κριτική άρχισε γύρω στο 1800, με τον μεγάλο μαθηματικό Ογκιστέν Κοσί, επάνω στα θεμέλια του απειροστικού λογισμού και είχε ως αποτέλεσμα την απελευθέρωση του κλάδου αυτού από την έννοια ενεστωτικό ά.και τη στήριξή του σε στερεά θεμέλια. Σήμερα στα μαθηματικά, ό,τι αναφέρεται σε αυτό που ξεκίνησε από την αρχαιότητα με την ενατένιση εκείνου που ενορατικά ο άνθρωπος χαρακτήριζε με τη λέξη ά. είναι στερεά θεμελιωμένο. Ας περιοριστούμε στις πραγματικές συναρτήσεις με μια πραγματική μεταβλητή, για να δώσουμε εδώ κάποια δείγματα του πώς για τις συναρτήσεις αυτές χρησιμοποιείται αυτό που ορίζεται στον απειροστικό λογισμό ως συν ά. (συμβολικά +∞) και πλην ά. (συμβολικά –∞). Έστω μία συνάρτηση f, πραγματική της πραγματικής μεταβλητής x. Λέμε ότι η οριακή τιμή της f για x = x0 είναι το +∞(και το συμβολίζουμε: lim f = +∞), εάν (και μόνο εάν) ισχύει το εξής:
x → x0 για κάθε ε > 0 υπάρχει ένας δ > 0 τέτοιος, ώστε για κάθε χ με 
να ισχύει 
Έτσι, σε απλή γλώσσα μπορούμε να πούμε ότι για κάθε Μ > 0 (όσο μεγάλος και αν είναι) υπάρχει δ > 0, αρκετά μικρός, τόσο ώστε αν ο x βρίσκεται κοντά στον x0 λιγότερο από δ, η τιμή f(x) της f να είναι μεγαλύτερη από τον Μ. Μπορεί να πει κανείς ότι με την παραπάνω διατύπωση πετυχαίνουμε μια έκφραση για το ά. με τη βοήθεια του πεπερασμένου. Με άλλα λόγια, το ά. καταντά να είναι ένας τρόπος του λέγειν, ένα σύμβολο (με ορισμένη, συγκεκριμένη έννοια). Ανάλογα ορίζεται η έννοια: η οριακή τιμή της f για x = x0 είναι το –∞.
Ο παραπάνω ορισμός επιτρέπει και τη σύγκριση μεταξύ α. Έτσι, αν f,g είναι δύο πραγματικές συναρτήσεις μιας πραγματικής μεταβλητής x με:
θα λέμε ότι οι δύο συναρτήσεις f,g έχουν την ίδια τάξη απειρισμού για x = x0 εάν (και μόνο εάν) ισχύει:
όπου α ένας πραγματικός αριθμός, διάφορος από τον 0. Λέμε ότι η τάξη απειρισμού της f είναι μεγαλύτερη από την τάξη απειρισμού της g για x = x0, εάν (και μόνο εάν) ισχύει:
Τέλος, λέμε ότι η τάξη απειρισμού της f είναι μικρότερη από την τάξη απειρισμού της g για x = x0, εάν (και μόνον εάν) ισχύει:
Λέμε επίσης ότι η f έχει, για x = x0, τάξη απειρισμού τον ν, εάν (και μόνον εάν) η f έχει την ίδια τάξη απειρισμού με τη συνάρτηση:
Το ενεστωτικό ά., που τέθηκε κατά μέρος στη μαθηματική ανάλυση με τη σύγχρονη θεμελίωσή της, εμφανίζεται σήμερα (ακριβέστερα, ήδη από το τέλος του 19ου αι.) στη θεωρία των συνόλων. Στη θεωρία αυτή, που ξεκίνησε από τον Γκέοργκ Κάντορ, θεωρούνται συλλήβδην όλα τα στοιχεία ενός συνόλου, ακόμα και στην περίπτωση που το πλήθος τους δεν είναι πεπερασμένο (π.χ. όλοι οι φυσικοί αριθμοί, όλοι οι πραγματικοί αριθμοί) και γίνεται λόγος για τον αριθμό των στοιχείων συνόλου ακόμα και στην περίπτωση που το σύνολο αυτό είναι ά.Ακριβέστερα, λέμε ότι δύο σύνολα έχουν τον ίδιο πληθικό αριθμό, εάν (και μόνο εάν) υπάρχει μια αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση του ενός πάνω στον άλλο. Με αυτή την έννοια οδηγούμαστε να χαρακτηρίσουμε ένα σύνολο ως ά. (απειροσύνολο) από το ότι έχει τον ίδιο πληθικό αριθμό με ένα γνήσιο υποσύνολό του. Έτσι, π.χ., το σύνολο των φυσικών αριθμών έχει τον ίδιο πληθικό αριθμό με το σύνολο των άρτιων φυσικών αριθμών, του οποίου είναι γνήσιο υποσύνολο. Ήδη από το 1638, o Γαλιλαίος είχε παρατηρήσει ότι: «τα τετράγωνα των φυσικών αριθμών είναι τόσα όσοι οι φυσικοί αριθμοί» ακριβώς από το ότι μεταξύ του συνόλου των φυσικών αριθμών και του συνόλου των τετραγώνων τους υπάρχει κάποια αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση. Έτσι, για τα απειροσύνολα δεν ισχύει η αριστοτελική αρχή, κατά την οποία «το όλο είναι μεγαλύτερο από το μέρος», όταν το μεγαλύτερος εννοεί πιο περιεκτικός σε στοιχεία. Ο ορισμός του Κάντορ επιτρέπει τη σύγκριση μεταξύ πληθικών αριθμών. Λέμε ότι ένα σύνολο I έχει πληθικό αριθμό μεγαλύτερο από τον πληθικό αριθμό άλλου συνόλου I, εάν (και μόνο εάν) το Ι δεν απεικονίζεται αμφιμονοσήμαντα επάνω στο Ι, ενώ αυτό γίνεται, αν αντί του I λάβουμε ένα γνήσιο υποσύνολό του. Έτσι, ο πληθικός αριθμός του συνόλου των πραγματικών αριθμών (η ισχύς του συνεχούς, όπως επίσης λέγεται) είναι μεγαλύτερος από τον πληθικό αριθμό του αριθμήσιμου συνόλου (π.χ. του συνόλου των φυσικών αριθμών). Έτσι, αντίθετα με ό,τι υποβάλλει η ενόραση, τα σημεία μιας ευθείας είναι τόσα, όσα και τα σημεία του επιπέδου (και ακόμα όσα τα σημεία του τρισδιάστατου χώρου, με την έννοια ότι το σύνολο των σημείων της ευθείας μπορεί να απεικονιστεί αμφιμονοσήμαντα επάνω στο σύνολο των σημείων του επιπέδου). Το γεγονός αυτό φαίνεται παράδοξο, αλλά δεν είναι αντιφατικό. Πρόκειται εδώ για ένα από τα λεγόμενα παράδοξα του α., τα οποία συναντώνται στη θεωρία των συνόλων. Η χωρίς κριτική διαπραγμάτευση της θεωρίας των συνόλων μπορεί να οδηγήσει σε αντινομίες, που όμως εξουδετερώνονται με μια φροντισμένη οροθέτηση της έννοιας του συνόλου.
(Φιλοσ.) Στη φιλοσοφία, ά. ονομάζεται το αντίθετο του μηδενός και του πεπερασμένου. Δύο βασικές αντιλήψεις για το ά. παρουσιάζονται στη φιλοσοφία. Η πρώτη, που αποκαλείται δυναμική, είναι βασικά εμπειρική και θεωρεί το ά. ως αίτημα για να ξεπεραστεί το πεπερασμένο, που ξεκινά όμως και ορίζεται αρνητικά από αυτό και μόνο. Κατά την άποψη αυτή, που εκπροσωπεί κυρίως ο Αριστοτέλης, το ά. υπάρχει μόνο δυνάμει, όχι ενεργεία, γιατί δεν είναι ποτέ συμπληρωμένο: ου αεί τι έξω εστί, αυτό είναι ά. Η αντίθετη άποψη θεωρεί το ά. υπαρκτό και προϋπόθεση όλων των πεπερασμένων. Μια τέτοια έννοια δίνει στην πρωταρχική ύλη του κόσμου ο Αναξίμανδρος. Ο Χέγκελ, απορρίπτοντας το ψευδές ά. της συνεχούς επανάληψης της μονάδας, που αρνείται και θέτει ξανά το ίδιο πράγμα, θεωρεί ότι το ά. «είναι το να μένει κάτι στον εαυτό του μέσα στο άλλο». Σύμφωνα με τον ορισμό αυτό, το ά. είναι μια ποιότητα από την οποία δεν βγαίνουμε ποτέ, όχι μία ποσότητα που δεν φτάνουμε ποτέ. Μεταγενέστερα, οπαδοί του Χέγκελ θεώρησαν την αντίληψή του για το ά. ως τον τελειότερο ορισμό της υλικότητας και, με βάση αυτήν, της ενότητας του κόσμου και του γίγνεσθαι. Ποικίλες άλλες μορφές παρουσιάζει η αναφορά του α. από διάφορους φιλοσόφους, όπως το ά. κενό του Δημόκριτου, η απειρία του κόσμου των Πυθαγορείων, οι άπειροι κόσμοι του Επίκουρου κλπ.
* * *το (AM ἄπειρον)βλ. άπειρος (II).
Dictionary of Greek. 2013.
